À quoi sert la trigonométrie ?
La trigonométrie permet de relier les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.
Elle permet notamment de calculer une longueur inconnue ou la mesure d'un angle.
Le vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, on distingue :
- l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit ;
- le côté opposé : le côté situé en face de l'angle étudié ;
- le côté adjacent : le côté qui touche l'angle étudié sans être l'hypoténuse.
Sinus, cosinus et tangente
Pour un angle aigu \(\alpha\) dans un triangle rectangle :
\[
\sin(\alpha)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}
\]
\[
\cos(\alpha)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}
\]
\[
\tan(\alpha)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}
\]
Configuration : A, M, B sont alignés ; A, N, C sont alignés ; (MN) est parallèle à (BC).
Comment choisir la bonne formule ?
Exemple : calculer une longueur
Dans un triangle rectangle, un angle mesure 30° et l'hypoténuse mesure 10 cm.
On cherche le côté opposé à l'angle de 30°.
\[
\sin(30°)=\frac{\text{opposé}}{10}
\]
Or \(\sin(30°)=0,5\).
\[
0,5=\frac{x}{10}
\]
\[
x=5\text{ cm}
\]
Exemple : calculer un angle
Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 6 cm et le côté adjacent mesure 8 cm.
\[
\tan(\alpha)=\frac{6}{8}=0,75
\]
On utilise la fonction inverse de la tangente :
\[
\alpha=\tan^{-1}(0,75)
\]
On obtient environ \(36,9°\).